Lös z-1=z^2+1

$$z - 1 = z ^ { 2 } + 1$$

Lös ut z

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}\approx 0,5-1,322875656i$$

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}\approx 0,5+1,322875656i$$

Steg med lösningsformeln

Subtrahera z^{2} från båda led.

$$z-1-z^{2}=1$$

Subtrahera 1 från båda led.

$$z-1-z^{2}-1=0$$

Subtrahera 1 från -1 för att få -2.

$$z-2-z^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-z^{2}+z-2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 1 och c med -2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-2\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -2.

$$z=\frac{-1±\sqrt{1-8}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1 till -8.

$$z=\frac{-1±\sqrt{-7}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur -7.

$$z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{-2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{-2} när ± är plus. Addera -1 till i\sqrt{7}.

$$z=\frac{-1+\sqrt{7}i}{-2}$$

Dela -1+i\sqrt{7} med -2.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{-1±\sqrt{7}i}{-2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{7} från -1.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i-1}{-2}$$

Dela -1-i\sqrt{7} med -2.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2} z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Subtrahera z^{2} från båda led.

$$z-1-z^{2}=1$$

Lägg till 1 på båda sidorna.

$$z-z^{2}=1+1$$

Addera 1 och 1 för att få 2.

$$z-z^{2}=2$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-z^{2}+z=2$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-z^{2}+z}{-1}=\frac{2}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$z^{2}+\frac{1}{-1}z=\frac{2}{-1}$$

Dela 1 med -1.

$$z^{2}-z=\frac{2}{-1}$$

Dela 2 med -1.

$$z^{2}-z=-2$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-z+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-2+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-2+\frac{1}{4}$$

Addera -2 till \frac{1}{4}.

$$z^{2}-z+\frac{1}{4}=-\frac{7}{4}$$

Faktorisera z^{2}-z+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{7}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{7}{4}}$$

Förenkla.

$$z-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{7}i}{2} z-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{7}i}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$z=\frac{1+\sqrt{7}i}{2} z=\frac{-\sqrt{7}i+1}{2}$$