Lös z^6-z^3+1=0

$$z ^ { 6 } - z ^ { 3 } + 1 = 0$$

Lös ut z

$$z\in e^{\frac{5\pi i}{9}},e^{\frac{17\pi i}{9}},e^{\frac{11\pi i}{9}},e^{\frac{13\pi i}{9}},e^{\frac{\pi i}{9}},e^{\frac{7\pi i}{9}}$$

Steg med lösningsformeln

Ersätt z^{3} med t.

$$t^{2}-t+1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -1 med b och 1 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{\left(-1\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2}$$

Lös ekvationen t=\frac{1±\sqrt{-3}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=\frac{1+\sqrt{3}i}{2} t=\frac{-\sqrt{3}i+1}{2}$$

Sedan z=t^{3} har lösningarna uppnåtts genom att matcha ekvationen för varje t.

$$z=-e^{\frac{4\pi i}{9}} z=ie^{\frac{5\pi i}{18}} z=e^{\frac{\pi i}{9}} z=-ie^{\frac{7\pi i}{18}} z=-e^{\frac{2\pi i}{9}} z=ie^{\frac{\pi i}{18}}$$