Lös z^2-6z-27=0

$$z ^ { 2 } - 6 z - 27 = 0$$

Lös ut z

$$z=-3$$

$$z=9$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor z^{2}-6z-27 med hjälp av formel z^{2}+\left(a+b\right)z+ab=\left(z+a\right)\left(z+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-6 ab=-27$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -27.

$$1,-27 3,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Lösningen är det par som ger Summa -6.

$$a=-9 b=3$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(z+a\right)\left(z+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(z-9\right)\left(z+3\right)$$

Lös z-9=0 och z+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$z=9 z=-3$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som z^{2}+az+bz-27. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-6 ab=1\left(-27\right)=-27$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -27.

$$1,-27 3,-9$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-27=-26 3-9=-6$$

Lösningen är det par som ger Summa -6.

$$a=-9 b=3$$

Skriv om z^{2}-6z-27 som \left(z^{2}-9z\right)+\left(3z-27\right).

$$\left(z^{2}-9z\right)+\left(3z-27\right)$$

Utfaktor z i den första och den 3 i den andra gruppen.

$$z\left(z-9\right)+3\left(z-9\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen z-9 genom att använda distributivitet.

$$\left(z-9\right)\left(z+3\right)$$

Lös z-9=0 och z+3=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$z=9 z=-3$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z^{2}-6z-27=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -6 och c med -27 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\left(-27\right)}}{2}$$

Kvadrera -6.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36-4\left(-27\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -27.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{36+108}}{2}$$

Addera 36 till 108.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{144}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 144.

$$z=\frac{-\left(-6\right)±12}{2}$$

Motsatsen till -6 är 6.

$$z=\frac{6±12}{2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{6±12}{2} när ± är plus. Addera 6 till 12.

$$z=\frac{18}{2}$$

Dela 18 med 2.

$$z=9$$

Lös nu ekvationen z=\frac{6±12}{2} när ± är minus. Subtrahera 12 från 6.

$$z=-\frac{6}{2}$$

Dela -6 med 2.

$$z=-3$$

Ekvationen har lösts.

$$z=9 z=-3$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-6z-27=0$$

Addera 27 till båda ekvationsled.

$$z^{2}-6z-27-\left(-27\right)=-\left(-27\right)$$

Subtraktion av -27 från sig självt ger 0 som resultat.

$$z^{2}-6z=-\left(-27\right)$$

Subtrahera -27 från 0.

$$z^{2}-6z=27$$

Dividera -6, koefficienten för termen x, med 2 för att få -3. Addera sedan kvadraten av -3 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-6z+\left(-3\right)^{2}=27+\left(-3\right)^{2}$$

Kvadrera -3.

$$z^{2}-6z+9=27+9$$

Addera 27 till 9.

$$z^{2}-6z+9=36$$

Faktorisera z^{2}-6z+9. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-3\right)^{2}=36$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-3\right)^{2}}=\sqrt{36}$$

Förenkla.

$$z-3=6 z-3=-6$$

Addera 3 till båda ekvationsled.

$$z=9 z=-3$$