Lös z^2-2iz+3=0

$$z ^ { 2 } - 2 i z + 3 = 0$$

Lös ut z

$$z=3i$$

$$z=-i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -2i och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{2i±\sqrt{\left(-2i\right)^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kvadrera -2i.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-4\times 3}}{2}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-4-12}}{2}$$

Addera -4 till -12.

$$z=\frac{2i±\sqrt{-16}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -16.

$$z=\frac{2i±4i}{2}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{2i±4i}{2} när ± är plus. Addera 2i till 4i.

$$z=\frac{6i}{2}$$

Dela 6i med 2.

$$z=3i$$

Lös nu ekvationen z=\frac{2i±4i}{2} när ± är minus. Subtrahera 4i från 2i.

$$z=\frac{-2i}{2}$$

Dela -2i med 2.

$$z=-i$$

Ekvationen har lösts.

$$z=3i z=-i$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$z^{2}-2iz+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$z^{2}-2iz+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$z^{2}-2iz=-3$$

Dividera -2i, koefficienten för termen x, med 2 för att få -i. Addera sedan kvadraten av -i till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-2iz+\left(-i\right)^{2}=-3+\left(-i\right)^{2}$$

Kvadrera -i.

$$z^{2}-2iz-1=-3-1$$

Addera -3 till -1.

$$z^{2}-2iz-1=-4$$

Faktorisera z^{2}-2iz-1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-i\right)^{2}=-4$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-i\right)^{2}}=\sqrt{-4}$$

Förenkla.

$$z-i=2i z-i=-2i$$

Addera i till båda ekvationsled.

$$z=3i z=-i$$