Lös y-3x=2text{and}7x-2y=8

$$y - 3 x = 2 \text { and } 7 x - 2 y = 8$$

Lös ut y, x

$$x=12$$

$$y=38$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-3x=2$$

Addera 3x till båda ekvationsled.

$$y=3x+2$$

Ersätt y med 3x+2 i den andra ekvationen, -2y+7x=8.

$$-2\left(3x+2\right)+7x=8$$

Multiplicera -2 med 3x+2.

$$-6x-4+7x=8$$

Addera -6x till 7x.

$$x-4=8$$

Addera 4 till båda ekvationsled.

$$x=12$$

Ersätt x med 12 i y=3x+2. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=3\times 12+2$$

Multiplicera 3 med 12.

$$y=36+2$$

Addera 2 till 36.

$$y=38$$

Systemet har lösts.

$$y=38,x=12$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\-2&7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{1}{7-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7&3\\2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\times 2+3\times 8\\2\times 2+8\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\12\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=38,x=12$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-3x=2,-2y+7x=8$$

Gör y och -2y lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med -2 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$-2y-2\left(-3\right)x=-2\times 2,-2y+7x=8$$

Förenkla.

$$-2y+6x=-4,-2y+7x=8$$

Subtrahera -2y+7x=8 från -2y+6x=-4 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-2y+2y+6x-7x=-4-8$$

Addera -2y till 2y. Termerna -2y och 2y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$6x-7x=-4-8$$

Addera 6x till -7x.

$$-x=-4-8$$

Addera -4 till -8.

$$-x=-12$$

Dividera båda led med -1.

$$x=12$$

Ersätt x med 12 i -2y+7x=8. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$-2y+7\times 12=8$$

Multiplicera 7 med 12.

$$-2y+84=8$$

Subtrahera 84 från båda ekvationsled.

$$-2y=-76$$

Dividera båda led med -2.

$$y=38$$

Systemet har lösts.

$$y=38,x=12$$