Lös y^2-y+7=0

$$y ^ { 2 } - y + 7 = 0$$

Lös ut y

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}\approx 0,5+2,598076211i$$

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}\approx 0,5-2,598076211i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$y^{2}-y+7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -1 och c med 7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\times 7}}{2}$$

Multiplicera -4 med 7.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-28}}{2}$$

Addera 1 till -28.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{-27}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -27.

$$y=\frac{-\left(-1\right)±3\sqrt{3}i}{2}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} när ± är plus. Addera 1 till 3i\sqrt{3}.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{1±3\sqrt{3}i}{2} när ± är minus. Subtrahera 3i\sqrt{3} från 1.

$$y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$y^{2}-y+7=0$$

Subtrahera 7 från båda ekvationsled.

$$y^{2}-y+7-7=-7$$

Subtraktion av 7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$y^{2}-y=-7$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-y+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-7+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-7+\frac{1}{4}$$

Addera -7 till \frac{1}{4}.

$$y^{2}-y+\frac{1}{4}=-\frac{27}{4}$$

Faktorisera y^{2}-y+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{27}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{27}{4}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{1}{2}=\frac{3\sqrt{3}i}{2} y-\frac{1}{2}=-\frac{3\sqrt{3}i}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{1+3\sqrt{3}i}{2} y=\frac{-3\sqrt{3}i+1}{2}$$