Lös y=x-9;quady=5-x

$$y = x - 9 ; \quad y = 5 - x$$

Lös ut y, x

$$x=7$$

$$y=-2$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera x från båda led.

$$y-x=-9$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till x på båda sidorna.

$$y+x=5$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-x=-9$$

Addera x till båda ekvationsled.

$$y=x-9$$

Ersätt y med x-9 i den andra ekvationen, y+x=5.

$$x-9+x=5$$

Addera x till x.

$$2x-9=5$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$2x=14$$

Dividera båda led med 2.

$$x=7$$

Ersätt x med 7 i y=x-9. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=7-9$$

Addera -9 till 7.

$$y=-2$$

Systemet har lösts.

$$y=-2,x=7$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera x från båda led.

$$y-x=-9$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till x på båda sidorna.

$$y+x=5$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-1\right)}&\frac{1}{1-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-9\\5\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\\-\frac{1}{2}\left(-9\right)+\frac{1}{2}\times 5\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\7\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=-2,x=7$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera x från båda led.

$$y-x=-9$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till x på båda sidorna.

$$y+x=5$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-x=-9,y+x=5$$

Subtrahera y+x=5 från y-x=-9 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y-x-x=-9-5$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-x-x=-9-5$$

Addera -x till -x.

$$-2x=-9-5$$

Addera -9 till -5.

$$-2x=-14$$

Dividera båda led med -2.

$$x=7$$

Ersätt x med 7 i y+x=5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y+7=5$$

Subtrahera 7 från båda ekvationsled.

$$y=-2$$

Systemet har lösts.

$$y=-2,x=7$$