Lös y=2x-1text{and}2x+y=3

$$y = 2 x - 1 \text { and } 2 x + y = 3$$

Lös ut y, x

$$x=1$$

$$y=1$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=-1$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-2x=-1$$

Addera 2x till båda ekvationsled.

$$y=2x-1$$

Ersätt y med 2x-1 i den andra ekvationen, y+2x=3.

$$2x-1+2x=3$$

Addera 2x till 2x.

$$4x-1=3$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$4x=4$$

Dividera båda led med 4.

$$x=1$$

Ersätt x med 1 i y=2x-1. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=2-1$$

Addera -1 till 2.

$$y=1$$

Systemet har lösts.

$$y=1,x=1$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=-1$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{2-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{2-\left(-2\right)}&\frac{1}{2-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\\-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-1\\3\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\left(-1\right)+\frac{1}{2}\times 3\\-\frac{1}{4}\left(-1\right)+\frac{1}{4}\times 3\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=1,x=1$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=-1$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-2x=-1,y+2x=3$$

Subtrahera y+2x=3 från y-2x=-1 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y-2x-2x=-1-3$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-2x-2x=-1-3$$

Addera -2x till -2x.

$$-4x=-1-3$$

Addera -1 till -3.

$$-4x=-4$$

Dividera båda led med -4.

$$x=1$$

Ersätt x med 1 i y+2x=3. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y+2=3$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$y=1$$

Systemet har lösts.

$$y=1,x=1$$