Lös y=2x+1text{and}x+y=7

$$y = 2 x + 1 \text { and } x + y = 7$$

Lös ut y, x

$$x=2$$

$$y=5$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=1$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-2x=1$$

Addera 2x till båda ekvationsled.

$$y=2x+1$$

Ersätt y med 2x+1 i den andra ekvationen, y+x=7.

$$2x+1+x=7$$

Addera 2x till x.

$$3x+1=7$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$3x=6$$

Dividera båda led med 3.

$$x=2$$

Ersätt x med 2 i y=2x+1. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=2\times 2+1$$

Multiplicera 2 med 2.

$$y=4+1$$

Addera 1 till 4.

$$y=5$$

Systemet har lösts.

$$y=5,x=2$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=1$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-2\right)}&-\frac{-2}{1-\left(-2\right)}\\-\frac{1}{1-\left(-2\right)}&\frac{1}{1-\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}&\frac{2}{3}\\-\frac{1}{3}&\frac{1}{3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}+\frac{2}{3}\times 7\\-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}\times 7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=5,x=2$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=1$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-2x=1,y+x=7$$

Subtrahera y+x=7 från y-2x=1 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y-2x-x=1-7$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-2x-x=1-7$$

Addera -2x till -x.

$$-3x=1-7$$

Addera 1 till -7.

$$-3x=-6$$

Dividera båda led med -3.

$$x=2$$

Ersätt x med 2 i y+x=7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y+2=7$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$y=5$$

Systemet har lösts.

$$y=5,x=2$$