Lös y=-3/2x;quady=-2-1/2x

$$y = - \frac { 3 } { 2 } x ; \quad y = - 2 - \frac { 1 } { 2 } x$$

Lös ut y, x

$$x=2$$

$$y=-3$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Lägg till \frac{3}{2}x på båda sidorna.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till \frac{1}{2}x på båda sidorna.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Subtrahera \frac{3x}{2} från båda ekvationsled.

$$y=-\frac{3}{2}x$$

Ersätt y med -\frac{3x}{2} i den andra ekvationen, y+\frac{1}{2}x=-2.

$$-\frac{3}{2}x+\frac{1}{2}x=-2$$

Addera -\frac{3x}{2} till \frac{x}{2}.

$$-x=-2$$

Dividera båda led med -1.

$$x=2$$

Ersätt x med 2 i y=-\frac{3}{2}x. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=-\frac{3}{2}\times 2$$

Multiplicera -\frac{3}{2} med 2.

$$y=-3$$

Systemet har lösts.

$$y=-3,x=2$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Lägg till \frac{3}{2}x på båda sidorna.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till \frac{1}{2}x på båda sidorna.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&\frac{3}{2}\\1&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&-\frac{\frac{3}{2}}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\\-\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}&\frac{1}{\frac{1}{2}-\frac{3}{2}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&\frac{3}{2}\\1&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-2\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{2}\left(-2\right)\\-\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\2\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=-3,x=2$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Lägg till \frac{3}{2}x på båda sidorna.

$$y+\frac{3}{2}x=0$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till \frac{1}{2}x på båda sidorna.

$$y+\frac{1}{2}x=-2$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y+\frac{3}{2}x=0,y+\frac{1}{2}x=-2$$

Subtrahera y+\frac{1}{2}x=-2 från y+\frac{3}{2}x=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y+\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$\frac{3}{2}x-\frac{1}{2}x=2$$

Addera \frac{3x}{2} till -\frac{x}{2}.

$$x=2$$

Ersätt x med 2 i y+\frac{1}{2}x=-2. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y+\frac{1}{2}\times 2=-2$$

Multiplicera \frac{1}{2} med 2.

$$y+1=-2$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$y=-3$$

Systemet har lösts.

$$y=-3,x=2$$