Lös y=4/3x-28/3;quady=2x+8

$$y = \frac { 4 } { 3 } x - \frac { 28 } { 3 } ; \quad y = 2 x + 8$$

Lös ut y, x

$$x=-26$$

$$y=-44$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera \frac{4}{3}x från båda led.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=8$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Addera \frac{4x}{3} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}$$

Ersätt y med \frac{-28+4x}{3} i den andra ekvationen, y-2x=8.

$$\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}-2x=8$$

Addera \frac{4x}{3} till -2x.

$$-\frac{2}{3}x-\frac{28}{3}=8$$

Addera \frac{28}{3} till båda ekvationsled.

$$-\frac{2}{3}x=\frac{52}{3}$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{2}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$x=-26$$

Ersätt x med -26 i y=\frac{4}{3}x-\frac{28}{3}. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=\frac{4}{3}\left(-26\right)-\frac{28}{3}$$

Multiplicera \frac{4}{3} med -26.

$$y=\frac{-104-28}{3}$$

Addera -\frac{28}{3} till -\frac{104}{3} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y=-44$$

Systemet har lösts.

$$y=-44,x=-26$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera \frac{4}{3}x från båda led.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=8$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{4}{3}\\1&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&-\frac{-\frac{4}{3}}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\\-\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}&\frac{1}{-2-\left(-\frac{4}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3&-2\\\frac{3}{2}&-\frac{3}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-\frac{28}{3}\\8\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\left(-\frac{28}{3}\right)-2\times 8\\\frac{3}{2}\left(-\frac{28}{3}\right)-\frac{3}{2}\times 8\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-44\\-26\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=-44,x=-26$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera \frac{4}{3}x från båda led.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3}$$

Överväg den andra ekvationen. Subtrahera 2x från båda led.

$$y-2x=8$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3},y-2x=8$$

Subtrahera y-2x=8 från y-\frac{4}{3}x=-\frac{28}{3} genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-\frac{4}{3}x+2x=-\frac{28}{3}-8$$

Addera -\frac{4x}{3} till 2x.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{28}{3}-8$$

Addera -\frac{28}{3} till -8.

$$\frac{2}{3}x=-\frac{52}{3}$$

Dela båda ekvationsled med \frac{2}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$x=-26$$

Ersätt x med -26 i y-2x=8. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y-2\left(-26\right)=8$$

Multiplicera -2 med -26.

$$y+52=8$$

Subtrahera 52 från båda ekvationsled.

$$y=-44$$

Systemet har lösts.

$$y=-44,x=-26$$