Lös y=1/3x;quady=60-3x

$$y = \frac { 1 } { 3 } x ; \quad y = 60 - 3 x$$

Lös ut y, x

$$x=18$$

$$y=6$$

Steg med substitution

Överväg den första ekvationen. Subtrahera \frac{1}{3}x från båda led.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 3x på båda sidorna.

$$y+3x=60$$

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Välj en av ekvationerna och lös den för y genom att isolera y till vänster om likhets tecknet.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Addera \frac{x}{3} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{1}{3}x$$

Ersätt y med \frac{x}{3} i den andra ekvationen, y+3x=60.

$$\frac{1}{3}x+3x=60$$

Addera \frac{x}{3} till 3x.

$$\frac{10}{3}x=60$$

Dela båda ekvationsled med \frac{10}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$x=18$$

Ersätt x med 18 i y=\frac{1}{3}x. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y=\frac{1}{3}\times 18$$

Multiplicera \frac{1}{3} med 18.

$$y=6$$

Systemet har lösts.

$$y=6,x=18$$

Steg med matriser

Överväg den första ekvationen. Subtrahera \frac{1}{3}x från båda led.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 3x på båda sidorna.

$$y+3x=60$$

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{3}\\1&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&-\frac{-\frac{1}{3}}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{3}\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{10}&\frac{1}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{3}{10}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\60\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{10}\times 60\\\frac{3}{10}\times 60\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\18\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen y och x.

$$y=6,x=18$$

Steg med eliminering

Överväg den första ekvationen. Subtrahera \frac{1}{3}x från båda led.

$$y-\frac{1}{3}x=0$$

Överväg den andra ekvationen. Lägg till 3x på båda sidorna.

$$y+3x=60$$

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$y-\frac{1}{3}x=0,y+3x=60$$

Subtrahera y+3x=60 från y-\frac{1}{3}x=0 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$y-y-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Addera y till -y. Termerna y och -y tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$-\frac{1}{3}x-3x=-60$$

Addera -\frac{x}{3} till -3x.

$$-\frac{10}{3}x=-60$$

Dela båda ekvationsled med -\frac{10}{3}, vilket är detsamma som att multiplicera båda led med bråktalets reciprok.

$$x=18$$

Ersätt x med 18 i y+3x=60. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut y direkt.

$$y+3\times 18=60$$

Multiplicera 3 med 18.

$$y+54=60$$

Subtrahera 54 från båda ekvationsled.

$$y=6$$

Systemet har lösts.

$$y=6,x=18$$