Lös x=-16x^2+81x+5

$$x=-16 { x }^{ 2 } +81x+5$$

Lös ut x

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx 5,061737691$$

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}\approx -0,061737691$$

Steg med lösningsformeln

Lägg till 16x^{2} på båda sidorna.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Subtrahera 81x från båda led.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Slå ihop x och -81x för att få -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Subtrahera 5 från båda led.

$$-80x+16x^{2}-5=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$16x^{2}-80x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 16, b med -80 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{\left(-80\right)^{2}-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Kvadrera -80.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-4\times 16\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicera -4 med 16.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400-64\left(-5\right)}}{2\times 16}$$

Multiplicera -64 med -5.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6400+320}}{2\times 16}$$

Addera 6400 till 320.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±\sqrt{6720}}{2\times 16}$$

Dra kvadratroten ur 6720.

$$x=\frac{-\left(-80\right)±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Motsatsen till -80 är 80.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{2\times 16}$$

Multiplicera 2 med 16.

$$x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} när ± är plus. Addera 80 till 8\sqrt{105}.

$$x=\frac{8\sqrt{105}+80}{32}$$

Dela 80+8\sqrt{105} med 32.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{80±8\sqrt{105}}{32} när ± är minus. Subtrahera 8\sqrt{105} från 80.

$$x=\frac{80-8\sqrt{105}}{32}$$

Dela 80-8\sqrt{105} med 32.

$$x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Lägg till 16x^{2} på båda sidorna.

$$x+16x^{2}=81x+5$$

Subtrahera 81x från båda led.

$$x+16x^{2}-81x=5$$

Slå ihop x och -81x för att få -80x.

$$-80x+16x^{2}=5$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$16x^{2}-80x=5$$

Dividera båda led med 16.

$$\frac{16x^{2}-80x}{16}=\frac{5}{16}$$

Division med 16 tar ut multiplikationen med 16.

$$x^{2}+\left(-\frac{80}{16}\right)x=\frac{5}{16}$$

Dela -80 med 16.

$$x^{2}-5x=\frac{5}{16}$$

Dividera -5, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{5}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{5}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-5x+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{5}{16}+\left(-\frac{5}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{5}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{5}{16}+\frac{25}{4}$$

Addera \frac{5}{16} till \frac{25}{4} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-5x+\frac{25}{4}=\frac{105}{16}$$

Faktorisera x^{2}-5x+\frac{25}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{105}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{105}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{5}{2}=\frac{\sqrt{105}}{4} x-\frac{5}{2}=-\frac{\sqrt{105}}{4}$$

Addera \frac{5}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2} x=-\frac{\sqrt{105}}{4}+\frac{5}{2}$$