Lös x-y=5text{and}5y-4x=7

$$x - y = 5 \text { and } 5 y - 4 x = 7$$

Lös ut x, y

$$x=32$$

$$y=27$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x-y=5$$

Addera y till båda ekvationsled.

$$x=y+5$$

Ersätt x med y+5 i den andra ekvationen, -4x+5y=7.

$$-4\left(y+5\right)+5y=7$$

Multiplicera -4 med y+5.

$$-4y-20+5y=7$$

Addera -4y till 5y.

$$y-20=7$$

Addera 20 till båda ekvationsled.

$$y=27$$

Ersätt y med 27 i x=y+5. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=27+5$$

Addera 5 till 27.

$$x=32$$

Systemet har lösts.

$$x=32,y=27$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&-\frac{-1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\\-\frac{-4}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}&\frac{1}{5-\left(-\left(-4\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5&1\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\7\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\times 5+7\\4\times 5+7\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\27\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=32,y=27$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x-y=5,-4x+5y=7$$

Gör x och -4x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med -4 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$-4x-4\left(-1\right)y=-4\times 5,-4x+5y=7$$

Förenkla.

$$-4x+4y=-20,-4x+5y=7$$

Subtrahera -4x+5y=7 från -4x+4y=-20 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$-4x+4x+4y-5y=-20-7$$

Addera -4x till 4x. Termerna -4x och 4x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$4y-5y=-20-7$$

Addera 4y till -5y.

$$-y=-20-7$$

Addera -20 till -7.

$$-y=-27$$

Dividera båda led med -1.

$$y=27$$

Ersätt y med 27 i -4x+5y=7. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$-4x+5\times 27=7$$

Multiplicera 5 med 27.

$$-4x+135=7$$

Subtrahera 135 från båda ekvationsled.

$$-4x=-128$$

Dividera båda led med -4.

$$x=32$$

Systemet har lösts.

$$x=32,y=27$$