Lös x-x^2=5

$$x - x ^ { 2 } = 5$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}\approx 0,5-2,179449472i$$

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}\approx 0,5+2,179449472i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-x^{2}+x=5$$

Subtrahera 5 från båda ekvationsled.

$$-x^{2}+x-5=5-5$$

Subtraktion av 5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-x^{2}+x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -1, b med 1 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera -4 med -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4\left(-5\right)}}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 4 med -5.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-20}}{2\left(-1\right)}$$

Addera 1 till -20.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-19}}{2\left(-1\right)}$$

Dra kvadratroten ur -19.

$$x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{2\left(-1\right)}$$

Multiplicera 2 med -1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2} när ± är plus. Addera -1 till i\sqrt{19}.

$$x=\frac{-1+\sqrt{19}i}{-2}$$

Dela -1+i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±\sqrt{19}i}{-2} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{19} från -1.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i-1}{-2}$$

Dela -1-i\sqrt{19} med -2.

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2} x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-x^{2}+x=5$$

Dividera båda led med -1.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=\frac{5}{-1}$$

Division med -1 tar ut multiplikationen med -1.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=\frac{5}{-1}$$

Dela 1 med -1.

$$x^{2}-x=\frac{5}{-1}$$

Dela 5 med -1.

$$x^{2}-x=-5$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=-5+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-5+\frac{1}{4}$$

Addera -5 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=-\frac{19}{4}$$

Faktorisera x^{2}-x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=-\frac{19}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{19}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{19}i}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{19}i}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+\sqrt{19}i}{2} x=\frac{-\sqrt{19}i+1}{2}$$