Lös x-2x^2=8

$$x - 2 x ^ { 2 } = 8$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}\approx 0,25-1,984313483i$$

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}\approx 0,25+1,984313483i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-2x^{2}+x=8$$

Subtrahera 8 från båda ekvationsled.

$$-2x^{2}+x-8=8-8$$

Subtraktion av 8 från sig självt ger 0 som resultat.

$$-2x^{2}+x-8=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -2, b med 1 och c med -8 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-2\right)\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera -4 med -2.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+8\left(-8\right)}}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 8 med -8.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-64}}{2\left(-2\right)}$$

Addera 1 till -64.

$$x=\frac{-1±\sqrt{-63}}{2\left(-2\right)}$$

Dra kvadratroten ur -63.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{2\left(-2\right)}$$

Multiplicera 2 med -2.

$$x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4} när ± är plus. Addera -1 till 3i\sqrt{7}.

$$x=\frac{-1+3\sqrt{7}i}{-4}$$

Dela -1+3i\sqrt{7} med -4.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±3\sqrt{7}i}{-4} när ± är minus. Subtrahera 3i\sqrt{7} från -1.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i-1}{-4}$$

Dela -1-3i\sqrt{7} med -4.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4} x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-2x^{2}+x=8$$

Dividera båda led med -2.

$$\frac{-2x^{2}+x}{-2}=\frac{8}{-2}$$

Division med -2 tar ut multiplikationen med -2.

$$x^{2}+\frac{1}{-2}x=\frac{8}{-2}$$

Dela 1 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=\frac{8}{-2}$$

Dela 8 med -2.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x=-4$$

Dividera -\frac{1}{2}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{4}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{4} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}=-4+\left(-\frac{1}{4}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{4} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-4+\frac{1}{16}$$

Addera -4 till \frac{1}{16}.

$$x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}=-\frac{63}{16}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{1}{2}x+\frac{1}{16}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}=-\frac{63}{16}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{4}\right)^{2}}=\sqrt{-\frac{63}{16}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{1}{4}=\frac{3\sqrt{7}i}{4} x-\frac{1}{4}=-\frac{3\sqrt{7}i}{4}$$

Addera \frac{1}{4} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{1+3\sqrt{7}i}{4} x=\frac{-3\sqrt{7}i+1}{4}$$