Lös x^2-9x-5=0

$$x ^ { 2 } - 9 x - 5 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{101} + 9}{2} \approx 9,524937811$$

$$x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}\approx -0,524937811$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-9x-5=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -9 och c med -5 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\left(-5\right)}}{2}$$

Kvadrera -9.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\left(-5\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -5.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+20}}{2}$$

Addera 81 till 20.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{101}}{2}$$

Motsatsen till -9 är 9.

$$x=\frac{9±\sqrt{101}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±\sqrt{101}}{2} när ± är plus. Addera 9 till \sqrt{101}.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{9±\sqrt{101}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{101} från 9.

$$x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-9x-5=0$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-9x-5-\left(-5\right)=-\left(-5\right)$$

Subtraktion av -5 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-9x=-\left(-5\right)$$

Subtrahera -5 från 0.

$$x^{2}-9x=5$$

Dividera -9, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{9}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{9}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-9x+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}=5+\left(-\frac{9}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{9}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=5+\frac{81}{4}$$

Addera 5 till \frac{81}{4}.

$$x^{2}-9x+\frac{81}{4}=\frac{101}{4}$$

Faktorisera x^{2}-9x+\frac{81}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}=\frac{101}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{101}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{9}{2}=\frac{\sqrt{101}}{2} x-\frac{9}{2}=-\frac{\sqrt{101}}{2}$$

Addera \frac{9}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{101}+9}{2} x=\frac{9-\sqrt{101}}{2}$$