Lös x^2-7x+4>0

$$x ^ { 2 } - 7 x + 4 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,\frac{7-\sqrt{33}}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{33}+7}{2},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-7x+4=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -7 med b och 4 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 1\times 4}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{7±\sqrt{33}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{7±\sqrt{33}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{33}+7}{2} x=\frac{7-\sqrt{33}}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\frac{\sqrt{33}+7}{2}\right)\left(x-\frac{7-\sqrt{33}}{2}\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x-\frac{\sqrt{33}+7}{2} och x-\frac{7-\sqrt{33}}{2} både negativa eller båda positiva. Tänk på när x-\frac{\sqrt{33}+7}{2} och x-\frac{7-\sqrt{33}}{2} både är negativa.

$$x-\frac{\sqrt{33}+7}{2}<0 x-\frac{7-\sqrt{33}}{2}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<\frac{7-\sqrt{33}}{2}.

$$x<\frac{7-\sqrt{33}}{2}$$

Överväg om x-\frac{\sqrt{33}+7}{2} och x-\frac{7-\sqrt{33}}{2} båda är positiva.

$$x-\frac{7-\sqrt{33}}{2}>0 x-\frac{\sqrt{33}+7}{2}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>\frac{\sqrt{33}+7}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{33}+7}{2}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<\frac{7-\sqrt{33}}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{33}+7}{2}$$