Lös x^2-6x+2>0

$$x ^ { 2 } - 6 x + 2 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,3-\sqrt{7}\right)\cup \left(\sqrt{7}+3,\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-6x+2=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -6 med b och 2 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-6\right)±\sqrt{\left(-6\right)^{2}-4\times 1\times 2}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{6±2\sqrt{7}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{7}+3 x=3-\sqrt{7}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\left(\sqrt{7}+3\right)\right)\left(x-\left(3-\sqrt{7}\right)\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x-\left(\sqrt{7}+3\right) och x-\left(3-\sqrt{7}\right) både negativa eller båda positiva. Tänk på när x-\left(\sqrt{7}+3\right) och x-\left(3-\sqrt{7}\right) både är negativa.

$$x-\left(\sqrt{7}+3\right)<0 x-\left(3-\sqrt{7}\right)<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<3-\sqrt{7}.

$$x<3-\sqrt{7}$$

Överväg om x-\left(\sqrt{7}+3\right) och x-\left(3-\sqrt{7}\right) båda är positiva.

$$x-\left(3-\sqrt{7}\right)>0 x-\left(\sqrt{7}+3\right)>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>\sqrt{7}+3.

$$x>\sqrt{7}+3$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<3-\sqrt{7}\text{; }x>\sqrt{7}+3$$