Lös x^2-4x+1=0

$$x ^ { 2 } - 4 x + 1 = 0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{3}+2\approx 3,732050808$$

$$x=2-\sqrt{3}\approx 0,267949192$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -4 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{\left(-4\right)^{2}-4}}{2}$$

Kvadrera -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{16-4}}{2}$$

Addera 16 till -4.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±\sqrt{12}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 12.

$$x=\frac{-\left(-4\right)±2\sqrt{3}}{2}$$

Motsatsen till -4 är 4.

$$x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} när ± är plus. Addera 4 till 2\sqrt{3}.

$$x=\frac{2\sqrt{3}+4}{2}$$

Dela 4+2\sqrt{3} med 2.

$$x=\sqrt{3}+2$$

Lös nu ekvationen x=\frac{4±2\sqrt{3}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{3} från 4.

$$x=\frac{4-2\sqrt{3}}{2}$$

Dela 4-2\sqrt{3} med 2.

$$x=2-\sqrt{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-4x+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-4x+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-4x=-1$$

Dividera -4, koefficienten för termen x, med 2 för att få -2. Addera sedan kvadraten av -2 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-4x+\left(-2\right)^{2}=-1+\left(-2\right)^{2}$$

Kvadrera -2.

$$x^{2}-4x+4=-1+4$$

Addera -1 till 4.

$$x^{2}-4x+4=3$$

Faktorisera x^{2}-4x+4. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-2\right)^{2}=3$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-2\right)^{2}}=\sqrt{3}$$

Förenkla.

$$x-2=\sqrt{3} x-2=-\sqrt{3}$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{3}+2 x=2-\sqrt{3}$$