Lös x^2-3x-180=0

$$x ^ { 2 } - 3 x - 180 = 0$$

Lös ut x

$$x=-12$$

$$x=15$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor x^{2}-3x-180 med hjälp av formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-3 ab=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -3.

$$a=-15 b=12$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(x+a\right)\left(x+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Lös x-15=0 och x+12=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=15 x=-12$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-180. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-3 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -3.

$$a=-15 b=12$$

Skriv om x^{2}-3x-180 som \left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right).

$$\left(x^{2}-15x\right)+\left(12x-180\right)$$

Utfaktor x i den första och den 12 i den andra gruppen.

$$x\left(x-15\right)+12\left(x-15\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-15 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-15\right)\left(x+12\right)$$

Lös x-15=0 och x+12=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=15 x=-12$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -3 och c med -180 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Kvadrera -3.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -180.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+720}}{2}$$

Addera 9 till 720.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{729}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 729.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±27}{2}$$

Motsatsen till -3 är 3.

$$x=\frac{3±27}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±27}{2} när ± är plus. Addera 3 till 27.

$$x=\frac{30}{2}$$

Dela 30 med 2.

$$x=15$$

Lös nu ekvationen x=\frac{3±27}{2} när ± är minus. Subtrahera 27 från 3.

$$x=-\frac{24}{2}$$

Dela -24 med 2.

$$x=-12$$

Ekvationen har lösts.

$$x=15 x=-12$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-3x-180=0$$

Addera 180 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-3x-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Subtraktion av -180 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-3x=-\left(-180\right)$$

Subtrahera -180 från 0.

$$x^{2}-3x=180$$

Dividera -3, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-3x+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}=180+\left(-\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=180+\frac{9}{4}$$

Addera 180 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}-3x+\frac{9}{4}=\frac{729}{4}$$

Faktorisera x^{2}-3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{729}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{729}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{3}{2}=\frac{27}{2} x-\frac{3}{2}=-\frac{27}{2}$$

Addera \frac{3}{2} till båda ekvationsled.

$$x=15 x=-12$$