Lös x^2-21x-75=0

$$x ^ { 2 } - 21 x - 75 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{741} + 21}{2} \approx 24,110657589$$

$$x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}\approx -3,110657589$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-21x-75=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -21 och c med -75 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{\left(-21\right)^{2}-4\left(-75\right)}}{2}$$

Kvadrera -21.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441-4\left(-75\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -75.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{441+300}}{2}$$

Addera 441 till 300.

$$x=\frac{-\left(-21\right)±\sqrt{741}}{2}$$

Motsatsen till -21 är 21.

$$x=\frac{21±\sqrt{741}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{21±\sqrt{741}}{2} när ± är plus. Addera 21 till \sqrt{741}.

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{21±\sqrt{741}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{741} från 21.

$$x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-21x-75=0$$

Addera 75 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-21x-75-\left(-75\right)=-\left(-75\right)$$

Subtraktion av -75 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-21x=-\left(-75\right)$$

Subtrahera -75 från 0.

$$x^{2}-21x=75$$

Dividera -21, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{21}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{21}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-21x+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}=75+\left(-\frac{21}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{21}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=75+\frac{441}{4}$$

Addera 75 till \frac{441}{4}.

$$x^{2}-21x+\frac{441}{4}=\frac{741}{4}$$

Faktorisera x^{2}-21x+\frac{441}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}=\frac{741}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{21}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{741}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{21}{2}=\frac{\sqrt{741}}{2} x-\frac{21}{2}=-\frac{\sqrt{741}}{2}$$

Addera \frac{21}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{741}+21}{2} x=\frac{21-\sqrt{741}}{2}$$