Lös x^2-2x-9=0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{10}+1\approx 4,16227766$$

$$x=1-\sqrt{10}\approx -2,16227766$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-2x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -2 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrera -2.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{4+36}}{2}$$

Addera 4 till 36.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{40}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 40.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±2\sqrt{10}}{2}$$

Motsatsen till -2 är 2.

$$x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2} när ± är plus. Addera 2 till 2\sqrt{10}.

$$x=\frac{2\sqrt{10}+2}{2}$$

Dela 2+2\sqrt{10} med 2.

$$x=\sqrt{10}+1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{10}}{2} när ± är minus. Subtrahera 2\sqrt{10} från 2.

$$x=\frac{2-2\sqrt{10}}{2}$$

Dela 2-2\sqrt{10} med 2.

$$x=1-\sqrt{10}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-2x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-2x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-2x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$x^{2}-2x=9$$

Dividera -2, koefficienten för termen x, med 2 för att få -1. Addera sedan kvadraten av -1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-2x+1=9+1$$

Addera 9 till 1.

$$x^{2}-2x+1=10$$

Faktorisera x^{2}-2x+1. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-1\right)^{2}=10$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-1\right)^{2}}=\sqrt{10}$$

Förenkla.

$$x-1=\sqrt{10} x-1=-\sqrt{10}$$

Addera 1 till båda ekvationsled.

$$x=\sqrt{10}+1 x=1-\sqrt{10}$$