Lös x^2-2x-1leq0

$$x ^ { 2 } - 2 x - 1 \leq 0$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}-2x-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -2 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-\left(-2\right)±\sqrt{\left(-2\right)^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{2±2\sqrt{2}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{2}+1 x=1-\sqrt{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\left(\sqrt{2}+1\right)\right)\left(x-\left(1-\sqrt{2}\right)\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-\left(\sqrt{2}+1\right) och x-\left(1-\sqrt{2}\right) ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 och x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{2}+1\right)\geq 0 x-\left(1-\sqrt{2}\right)\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0 och x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0.

$$x-\left(1-\sqrt{2}\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{2}+1\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\right].

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}1-\sqrt{2},\sqrt{2}+1\end{bmatrix}$$