Lös x^2-15x-9=0

$$x ^ { 2 } - 15 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{3 \sqrt{29} + 15}{2} \approx 15,577747211$$

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}\approx -0,577747211$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -15 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrera -15.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+36}}{2}$$

Addera 225 till 36.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{261}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 261.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±3\sqrt{29}}{2}$$

Motsatsen till -15 är 15.

$$x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} när ± är plus. Addera 15 till 3\sqrt{29}.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{15±3\sqrt{29}}{2} när ± är minus. Subtrahera 3\sqrt{29} från 15.

$$x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-15x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-15x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-15x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$x^{2}-15x=9$$

Dividera -15, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{15}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{15}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=9+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{15}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=9+\frac{225}{4}$$

Addera 9 till \frac{225}{4}.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{261}{4}$$

Faktorisera x^{2}-15x+\frac{225}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{261}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{261}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{3\sqrt{29}}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{3\sqrt{29}}{2}$$

Addera \frac{15}{2} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{3\sqrt{29}+15}{2} x=\frac{15-3\sqrt{29}}{2}$$