Lös x^2-13x+42=0

$$x ^ { 2 } - 13 x + 42 = 0$$

Lös ut x

$$x=6$$

$$x=7$$

Steg med faktorisering

Lös ekvationen genom att faktorisera x^{2}-13x+42 med hjälp av formeln x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-13 ab=42$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Lösningen är det par som ger Summa -13.

$$a=-7 b=-6$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(x+a\right)\left(x+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Lös x-7=0 och x-6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=7 x=6$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Lös ekvationen genom att faktorisera den vänstra delen med gruppering. Först måste den vänstra sidan skrivas om som x^{2}+ax+bx+42. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-13 ab=1\times 42=42$$

Eftersom ab är positivt a och b ha samma tecken. Eftersom a+b är negativt är a och b negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten 42.

$$-1,-42 -2,-21 -3,-14 -6,-7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1-42=-43 -2-21=-23 -3-14=-17 -6-7=-13$$

Lösningen är det par som ger Summa -13.

$$a=-7 b=-6$$

Skriv om x^{2}-13x+42 som \left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right).

$$\left(x^{2}-7x\right)+\left(-6x+42\right)$$

Bryt ut x i den första och -6 i den andra gruppen.

$$x\left(x-7\right)-6\left(x-7\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-7 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-7\right)\left(x-6\right)$$

Lös x-7=0 och x-6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=7 x=6$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -13 och c med 42 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{\left(-13\right)^{2}-4\times 42}}{2}$$

Kvadrera -13.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-4\times 42}}{2}$$

Multiplicera -4 med 42.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{169-168}}{2}$$

Addera 169 till -168.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±\sqrt{1}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 1.

$$x=\frac{-\left(-13\right)±1}{2}$$

Motsatsen till -13 är 13.

$$x=\frac{13±1}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{13±1}{2} när ± är plus. Addera 13 till 1.

$$x=\frac{14}{2}$$

Dela 14 med 2.

$$x=7$$

Lös nu ekvationen x=\frac{13±1}{2} när ± är minus. Subtrahera 1 från 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dela 12 med 2.

$$x=6$$

Ekvationen har lösts.

$$x=7 x=6$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-13x+42=0$$

Subtrahera 42 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-13x+42-42=-42$$

Subtraktion av 42 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-13x=-42$$

Dividera -13, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{13}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{13}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-13x+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}=-42+\left(-\frac{13}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{13}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=-42+\frac{169}{4}$$

Addera -42 till \frac{169}{4}.

$$x^{2}-13x+\frac{169}{4}=\frac{1}{4}$$

Faktorisera x^{2}-13x+\frac{169}{4}. I allmänhet gäller att om x^{2}+bx+c är en jämn kvadrat kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}.

$$\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}=\frac{1}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{13}{2}=\frac{1}{2} x-\frac{13}{2}=-\frac{1}{2}$$

Addera \frac{13}{2} till båda ekvationsled.

$$x=7 x=6$$