Lös x^2-12x-9=0

$$x ^ { 2 } - 12 x - 9 = 0$$

Lös ut x

$$x=3\sqrt{5}+6\approx 12,708203932$$

$$x=6-3\sqrt{5}\approx -0,708203932$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -12 och c med -9 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\left(-9\right)}}{2}$$

Kvadrera -12.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\left(-9\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -9.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144+36}}{2}$$

Addera 144 till 36.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{180}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 180.

$$x=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{5}}{2}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} när ± är plus. Addera 12 till 6\sqrt{5}.

$$x=\frac{6\sqrt{5}+12}{2}$$

Dela 12+6\sqrt{5} med 2.

$$x=3\sqrt{5}+6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{12±6\sqrt{5}}{2} när ± är minus. Subtrahera 6\sqrt{5} från 12.

$$x=\frac{12-6\sqrt{5}}{2}$$

Dela 12-6\sqrt{5} med 2.

$$x=6-3\sqrt{5}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-12x-9=0$$

Addera 9 till båda ekvationsled.

$$x^{2}-12x-9-\left(-9\right)=-\left(-9\right)$$

Subtraktion av -9 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-12x=-\left(-9\right)$$

Subtrahera -9 från 0.

$$x^{2}-12x=9$$

Dividera -12, koefficienten för termen x, med 2 för att få -6. Addera sedan kvadraten av -6 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-12x+\left(-6\right)^{2}=9+\left(-6\right)^{2}$$

Kvadrera -6.

$$x^{2}-12x+36=9+36$$

Addera 9 till 36.

$$x^{2}-12x+36=45$$

Faktorisera x^{2}-12x+36. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-6\right)^{2}=45$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-6\right)^{2}}=\sqrt{45}$$

Förenkla.

$$x-6=3\sqrt{5} x-6=-3\sqrt{5}$$

Addera 6 till båda ekvationsled.

$$x=3\sqrt{5}+6 x=6-3\sqrt{5}$$