Lös x^2-10x+90=0

$$x ^ { 2 } - 10 x + 90 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=5+\sqrt{65}i\approx 5+8,062257748i$$

$$x=-\sqrt{65}i+5\approx 5-8,062257748i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -10 och c med 90 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{\left(-10\right)^{2}-4\times 90}}{2}$$

Kvadrera -10.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-4\times 90}}{2}$$

Multiplicera -4 med 90.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{100-360}}{2}$$

Addera 100 till -360.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±\sqrt{-260}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -260.

$$x=\frac{-\left(-10\right)±2\sqrt{65}i}{2}$$

Motsatsen till -10 är 10.

$$x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} när ± är plus. Addera 10 till 2i\sqrt{65}.

$$x=\frac{10+2\sqrt{65}i}{2}$$

Dela 10+2i\sqrt{65} med 2.

$$x=5+\sqrt{65}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{10±2\sqrt{65}i}{2} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{65} från 10.

$$x=\frac{-2\sqrt{65}i+10}{2}$$

Dela 10-2i\sqrt{65} med 2.

$$x=-\sqrt{65}i+5$$

Ekvationen har lösts.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}-10x+90=0$$

Subtrahera 90 från båda ekvationsled.

$$x^{2}-10x+90-90=-90$$

Subtraktion av 90 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}-10x=-90$$

Dividera -10, koefficienten för termen x, med 2 för att få -5. Addera sedan kvadraten av -5 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-10x+\left(-5\right)^{2}=-90+\left(-5\right)^{2}$$

Kvadrera -5.

$$x^{2}-10x+25=-90+25$$

Addera -90 till 25.

$$x^{2}-10x+25=-65$$

Faktorisera x^{2}-10x+25. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-5\right)^{2}=-65$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-5\right)^{2}}=\sqrt{-65}$$

Förenkla.

$$x-5=\sqrt{65}i x-5=-\sqrt{65}i$$

Addera 5 till båda ekvationsled.

$$x=5+\sqrt{65}i x=-\sqrt{65}i+5$$