Lös x^2=2sqrt{1-x^2}

$$x ^ { 2 } = 2 \sqrt { 1 - x ^ { 2 } }$$

Lös ut x

$$x=\sqrt{2\sqrt{2}-2}\approx 0,910179721$$

$$x=-\sqrt{2\sqrt{2}-2}\approx -0,910179721$$

Lösningssteg

Kvadrera båda ekvationsled.

$$\left(x^{2}\right)^{2}=\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Om du vill upphöja ett tal till ett annat upphöjt tal multiplicerar du exponenterna. Multiplicera 2 och 2 för att få 4.

$$x^{4}=\left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Utveckla \left(2\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}.

$$x^{4}=2^{2}\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna 2 upphöjt till 2 och få 4.

$$x^{4}=4\left(\sqrt{1-x^{2}}\right)^{2}$$

Beräkna \sqrt{1-x^{2}} upphöjt till 2 och få 1-x^{2}.

$$x^{4}=4\left(1-x^{2}\right)$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 4 med 1-x^{2}.

$$x^{4}=4-4x^{2}$$

Subtrahera 4 från båda led.

$$x^{4}-4=-4x^{2}$$

Lägg till 4x^{2} på båda sidorna.

$$x^{4}-4+4x^{2}=0$$

Ersätt x^{2} med t.

$$t^{2}+4t-4=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, 4 med b och -4 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 1\left(-4\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2}$$

Lös ekvationen t=\frac{-4±4\sqrt{2}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=2\sqrt{2}-2 t=-2\sqrt{2}-2$$

Sedan x=t^{2} fås lösningarna genom att utvärdera x=±\sqrt{t} för positiva t.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}$$

Ersätt x med \frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} i ekvationen x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}}.

$$\left(\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}=2\sqrt{1-\left(\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}}$$

Förenkla. Värdet x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} uppfyller ekvationen.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-2=2\times 2^{\frac{1}{2}}-2$$

Ersätt x med -\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} i ekvationen x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}}.

$$\left(-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}=2\sqrt{1-\left(-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}\right)^{2}}$$

Förenkla. Värdet x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} uppfyller ekvationen.

$$2\times 2^{\frac{1}{2}}-2=2\times 2^{\frac{1}{2}}-2$$

Lista alla lösningar på x^{2}=2\sqrt{1-x^{2}}.

$$x=\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2} x=-\frac{\sqrt{8\sqrt{2}-8}}{2}$$