Lös x^2+x-42=0

$$x ^ { 2 } + x - 42 = 0$$

Lös ut x

$$x=-7$$

$$x=6$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor x^{2}+x-42 med hjälp av formel x^{2}+\left(a+b\right)x+ab=\left(x+a\right)\left(x+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=-42$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 1.

$$a=-6 b=7$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(x+a\right)\left(x+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Lös x-6=0 och x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=6 x=-7$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som x^{2}+ax+bx-42. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=1 ab=1\left(-42\right)=-42$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -42.

$$-1,42 -2,21 -3,14 -6,7$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+42=41 -2+21=19 -3+14=11 -6+7=1$$

Lösningen är det par som ger Summa 1.

$$a=-6 b=7$$

Skriv om x^{2}+x-42 som \left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right).

$$\left(x^{2}-6x\right)+\left(7x-42\right)$$

Utfaktor x i den första och den 7 i den andra gruppen.

$$x\left(x-6\right)+7\left(x-6\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen x-6 genom att använda distributivitet.

$$\left(x-6\right)\left(x+7\right)$$

Lös x-6=0 och x+7=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=6 x=-7$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}+x-42=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med 1 och c med -42 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-42\right)}}{2}$$

Kvadrera 1.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-42\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -42.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+168}}{2}$$

Addera 1 till 168.

$$x=\frac{-1±\sqrt{169}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 169.

$$x=\frac{-1±13}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±13}{2} när ± är plus. Addera -1 till 13.

$$x=\frac{12}{2}$$

Dela 12 med 2.

$$x=6$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-1±13}{2} när ± är minus. Subtrahera 13 från -1.

$$x=-\frac{14}{2}$$

Dela -14 med 2.

$$x=-7$$

Ekvationen har lösts.

$$x=6 x=-7$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+x-42=0$$

Addera 42 till båda ekvationsled.

$$x^{2}+x-42-\left(-42\right)=-\left(-42\right)$$

Subtraktion av -42 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}+x=-\left(-42\right)$$

Subtrahera -42 från 0.

$$x^{2}+x=42$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=42+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=42+\frac{1}{4}$$

Addera 42 till \frac{1}{4}.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{169}{4}$$

Faktorisera x^{2}+x+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{13}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$x=6 x=-7$$