Lös x^2+9x-3>0

$$x ^ { 2 } + 9 x - 3 > 0$$

Lös ut x

$$x\in \left(-\infty,\frac{-\sqrt{93}-9}{2}\right)\cup \left(\frac{\sqrt{93}-9}{2},\infty\right)$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+9x-3=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, 9 med b och -3 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-9±\sqrt{9^{2}-4\times 1\left(-3\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-9±\sqrt{93}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{-9±\sqrt{93}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\frac{\sqrt{93}-9}{2} x=\frac{-\sqrt{93}-9}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\frac{\sqrt{93}-9}{2}\right)\left(x-\frac{-\sqrt{93}-9}{2}\right)>0$$

För att produkten ska vara positiv, x-\frac{\sqrt{93}-9}{2} och x-\frac{-\sqrt{93}-9}{2} både negativa eller båda positiva. Tänk på när x-\frac{\sqrt{93}-9}{2} och x-\frac{-\sqrt{93}-9}{2} både är negativa.

$$x-\frac{\sqrt{93}-9}{2}<0 x-\frac{-\sqrt{93}-9}{2}<0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x<\frac{-\sqrt{93}-9}{2}.

$$x<\frac{-\sqrt{93}-9}{2}$$

Överväg om x-\frac{\sqrt{93}-9}{2} och x-\frac{-\sqrt{93}-9}{2} båda är positiva.

$$x-\frac{-\sqrt{93}-9}{2}>0 x-\frac{\sqrt{93}-9}{2}>0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x>\frac{\sqrt{93}-9}{2}.

$$x>\frac{\sqrt{93}-9}{2}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x<\frac{-\sqrt{93}-9}{2}\text{; }x>\frac{\sqrt{93}-9}{2}$$