Lös x^2+3x-11=0

$$x ^ { 2 } + 3 x - 11 = 0$$

Lös ut x

$$x = \frac{\sqrt{53} - 3}{2} \approx 2,140054945$$

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}\approx -5,140054945$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med 3 och c med -11 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4\left(-11\right)}}{2}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4\left(-11\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -11.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+44}}{2}$$

Addera 9 till 44.

$$x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} när ± är plus. Addera -3 till \sqrt{53}.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±\sqrt{53}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{53} från -3.

$$x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+3x-11=0$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$x^{2}+3x-11-\left(-11\right)=-\left(-11\right)$$

Subtraktion av -11 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}+3x=-\left(-11\right)$$

Subtrahera -11 från 0.

$$x^{2}+3x=11$$

Dividera 3, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+3x+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}=11+\left(\frac{3}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=11+\frac{9}{4}$$

Addera 11 till \frac{9}{4}.

$$x^{2}+3x+\frac{9}{4}=\frac{53}{4}$$

Faktorisera x^{2}+3x+\frac{9}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}=\frac{53}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{53}{4}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2}=\frac{\sqrt{53}}{2} x+\frac{3}{2}=-\frac{\sqrt{53}}{2}$$

Subtrahera \frac{3}{2} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{\sqrt{53}-3}{2} x=\frac{-\sqrt{53}-3}{2}$$