Lös x^2+2x+3=0

$$x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=-1+\sqrt{2}i\approx -1+1,414213562i$$

$$x=-\sqrt{2}i-1\approx -1-1,414213562i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med 2 och c med 3 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-2±\sqrt{2^{2}-4\times 3}}{2}$$

Kvadrera 2.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-4\times 3}}{2}$$

Multiplicera -4 med 3.

$$x=\frac{-2±\sqrt{4-12}}{2}$$

Addera 4 till -12.

$$x=\frac{-2±\sqrt{-8}}{2}$$

Dra kvadratroten ur -8.

$$x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} när ± är plus. Addera -2 till 2i\sqrt{2}.

$$x=\frac{-2+2\sqrt{2}i}{2}$$

Dela -2+2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-1+\sqrt{2}i$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-2±2\sqrt{2}i}{2} när ± är minus. Subtrahera 2i\sqrt{2} från -2.

$$x=\frac{-2\sqrt{2}i-2}{2}$$

Dela -2-2i\sqrt{2} med 2.

$$x=-\sqrt{2}i-1$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$x^{2}+2x+3=0$$

Subtrahera 3 från båda ekvationsled.

$$x^{2}+2x+3-3=-3$$

Subtraktion av 3 från sig självt ger 0 som resultat.

$$x^{2}+2x=-3$$

Dividera 2, koefficienten för termen x, med 2 för att få 1. Addera sedan kvadraten av 1 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+2x+1^{2}=-3+1^{2}$$

Kvadrera 1.

$$x^{2}+2x+1=-3+1$$

Addera -3 till 1.

$$x^{2}+2x+1=-2$$

Faktorisera x^{2}+2x+1. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+1\right)^{2}=-2$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+1\right)^{2}}=\sqrt{-2}$$

Förenkla.

$$x+1=\sqrt{2}i x+1=-\sqrt{2}i$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$x=-1+\sqrt{2}i x=-\sqrt{2}i-1$$