Lös x^2+14x-28leq0

$$x ^ { 2 } + 14 x - 28 \leq 0$$

Lös ut x

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{77}-7,\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$x^{2}+14x-28=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, 14 med b och -28 med c i lösningsformeln.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\times 1\left(-28\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$x=\frac{-14±2\sqrt{77}}{2}$$

Lös ekvationen x=\frac{-14±2\sqrt{77}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$x=\sqrt{77}-7 x=-\sqrt{77}-7$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(x-\left(\sqrt{77}-7\right)\right)\left(x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena x-\left(\sqrt{77}-7\right) och x-\left(-\sqrt{77}-7\right) ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{77}-7\right)\geq 0 och x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\leq 0.

$$x-\left(\sqrt{77}-7\right)\geq 0 x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\leq 0$$

Detta är falskt för alla x.

$$x\in \emptyset$$

Tänk på fallet när x-\left(\sqrt{77}-7\right)\leq 0 och x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\geq 0.

$$x-\left(-\sqrt{77}-7\right)\geq 0 x-\left(\sqrt{77}-7\right)\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är x\in \left[-\left(\sqrt{77}+7\right),\sqrt{77}-7\right].

$$x\in \begin{bmatrix}-\left(\sqrt{77}+7\right),\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$x\in \begin{bmatrix}-\sqrt{77}-7,\sqrt{77}-7\end{bmatrix}$$