Lös x^10+5x^5-1=0

$$x ^ { 10 } + 5 x ^ { 5 } - 1 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x\in \frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{9\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{3\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},-\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{7\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}+5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{8\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{4\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2},\frac{2^{\frac{4}{5}}e^{\frac{6\pi i}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2}$$

Steg med lösningsformeln

Ersätt x^{5} med t.

$$t^{2}+5t-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, 5 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2}$$

Lös ekvationen t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=\frac{\sqrt{29}-5}{2} t=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Sedan x=t^{5} har lösningarna uppnåtts genom att matcha ekvationen för varje t.

$$x=-ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=-e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=-ie^{\frac{3\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=-e^{\frac{2\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=-\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=ie^{\frac{\pi i}{10}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}} x=e^{\frac{\pi i}{5}}\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}+5}{2}}$$

Lös ut x

$$x=\frac{2^{\frac{4}{5}}\sqrt[5]{\sqrt{29}-5}}{2}\approx 0,719321963$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{4}{5}} \sqrt[5]{-\sqrt{29} - 5}}{2} \approx 1,390198064$$

Steg med lösningsformeln

Ersätt x^{5} med t.

$$t^{2}+5t-1=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, 5 med b och -1 med c i lösningsformeln.

$$t=\frac{-5±\sqrt{5^{2}-4\times 1\left(-1\right)}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2}$$

Lös ekvationen t=\frac{-5±\sqrt{29}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$t=\frac{\sqrt{29}-5}{2} t=\frac{-\sqrt{29}-5}{2}$$

Sedan x=t^{5} fås lösningarna genom att utvärdera x=\sqrt[5]{t} för varje t.

$$x=\sqrt[5]{\frac{\sqrt{29}-5}{2}} x=\sqrt[5]{\frac{-\sqrt{29}-5}{2}}$$