Lös x+y=9;5x-2y=4

$$x + y = 9 ; 5 x - 2 y = 4$$

Lös ut x, y

$$x = \frac{22}{7} = 3\frac{1}{7} \approx 3,142857143$$

$$y = \frac{41}{7} = 5\frac{6}{7} \approx 5,857142857$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x+y=9,5x-2y=4$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x+y=9$$

Subtrahera y från båda ekvationsled.

$$x=-y+9$$

Ersätt x med -y+9 i den andra ekvationen, 5x-2y=4.

$$5\left(-y+9\right)-2y=4$$

Multiplicera 5 med -y+9.

$$-5y+45-2y=4$$

Addera -5y till -2y.

$$-7y+45=4$$

Subtrahera 45 från båda ekvationsled.

$$-7y=-41$$

Dividera båda led med -7.

$$y=\frac{41}{7}$$

Ersätt y med \frac{41}{7} i x=-y+9. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-\frac{41}{7}+9$$

Addera 9 till -\frac{41}{7}.

$$x=\frac{22}{7}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{41}{7}$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x+y=9,5x-2y=4$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-5}&-\frac{1}{-2-5}\\-\frac{5}{-2-5}&\frac{1}{-2-5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}&\frac{1}{7}\\\frac{5}{7}&-\frac{1}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}9\\4\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{7}\times 9+\frac{1}{7}\times 4\\\frac{5}{7}\times 9-\frac{1}{7}\times 4\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{22}{7}\\\frac{41}{7}\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{41}{7}$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x+y=9,5x-2y=4$$

Gör x och 5x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 5 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$5x+5y=5\times 9,5x-2y=4$$

Förenkla.

$$5x+5y=45,5x-2y=4$$

Subtrahera 5x-2y=4 från 5x+5y=45 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$5x-5x+5y+2y=45-4$$

Addera 5x till -5x. Termerna 5x och -5x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$5y+2y=45-4$$

Addera 5y till 2y.

$$7y=45-4$$

Addera 45 till -4.

$$7y=41$$

Dividera båda led med 7.

$$y=\frac{41}{7}$$

Ersätt y med \frac{41}{7} i 5x-2y=4. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$5x-2\times \frac{41}{7}=4$$

Multiplicera -2 med \frac{41}{7}.

$$5x-\frac{82}{7}=4$$

Addera \frac{82}{7} till båda ekvationsled.

$$5x=\frac{110}{7}$$

Dividera båda led med 5.

$$x=\frac{22}{7}$$

Systemet har lösts.

$$x=\frac{22}{7},y=\frac{41}{7}$$