Lös x+y=21text{and}18x-3y=0

$$x + y = 21 \text { and } 18 x - 3 y = 0$$

Lös ut x, y

$$x=3$$

$$y=18$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x+y=21,18x-3y=0$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x+y=21$$

Subtrahera y från båda ekvationsled.

$$x=-y+21$$

Ersätt x med -y+21 i den andra ekvationen, 18x-3y=0.

$$18\left(-y+21\right)-3y=0$$

Multiplicera 18 med -y+21.

$$-18y+378-3y=0$$

Addera -18y till -3y.

$$-21y+378=0$$

Subtrahera 378 från båda ekvationsled.

$$-21y=-378$$

Dividera båda led med -21.

$$y=18$$

Ersätt y med 18 i x=-y+21. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-18+21$$

Addera 21 till -18.

$$x=3$$

Systemet har lösts.

$$x=3,y=18$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x+y=21,18x-3y=0$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\18&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-18}&-\frac{1}{-3-18}\\-\frac{18}{-3-18}&\frac{1}{-3-18}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{21}\\\frac{6}{7}&-\frac{1}{21}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}21\\0\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}\times 21\\\frac{6}{7}\times 21\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\18\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=3,y=18$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x+y=21,18x-3y=0$$

Gör x och 18x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 18 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$18x+18y=18\times 21,18x-3y=0$$

Förenkla.

$$18x+18y=378,18x-3y=0$$

Subtrahera 18x-3y=0 från 18x+18y=378 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$18x-18x+18y+3y=378$$

Addera 18x till -18x. Termerna 18x och -18x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$18y+3y=378$$

Addera 18y till 3y.

$$21y=378$$

Dividera båda led med 21.

$$y=18$$

Ersätt y med 18 i 18x-3y=0. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$18x-3\times 18=0$$

Multiplicera -3 med 18.

$$18x-54=0$$

Addera 54 till båda ekvationsled.

$$18x=54$$

Dividera båda led med 18.

$$x=3$$

Systemet har lösts.

$$x=3,y=18$$