Lös x+3y=6;5x-2y=13

$$x + 3 y = 6 ; 5 x - 2 y = 13$$

Lös ut x, y

$$x=3$$

$$y=1$$

Steg med substitution

Du löser ett par ekvationer med först lösa en av ekvationerna med avseende på en av variablerna. Ersätt sedan den variabeln med resultatet i den andra ekvationen.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Välj en av ekvationerna och lös den för x genom att isolera x till vänster om likhets tecknet.

$$x+3y=6$$

Subtrahera 3y från båda ekvationsled.

$$x=-3y+6$$

Ersätt x med -3y+6 i den andra ekvationen, 5x-2y=13.

$$5\left(-3y+6\right)-2y=13$$

Multiplicera 5 med -3y+6.

$$-15y+30-2y=13$$

Addera -15y till -2y.

$$-17y+30=13$$

Subtrahera 30 från båda ekvationsled.

$$-17y=-17$$

Dividera båda led med -17.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i x=-3y+6. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$x=-3+6$$

Addera 6 till -3.

$$x=3$$

Systemet har lösts.

$$x=3,y=1$$

Steg med matriser

Skriv om ekvationerna på standardform och använda sedan matriser för att lösa ekvationssystemet.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Skriv ekvationerna på matrisform.

$$\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Vänstermultiplicera ekvationen med inversen av en matris \left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right).

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Produkten av en matris och dess invers är enhetsmatrisen.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna till vänster om likhetstecknet.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&3\\5&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

För 2\times 2-matrisen \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) är inversmatrisen \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) och matrisekvationen kan därför skrivas om som en matrismultiplikation.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{-2-3\times 5}&-\frac{3}{-2-3\times 5}\\-\frac{5}{-2-3\times 5}&\frac{1}{-2-3\times 5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}&\frac{3}{17}\\\frac{5}{17}&-\frac{1}{17}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}6\\13\end{matrix}\right)$$

Multiplicera matriserna.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{17}\times 6+\frac{3}{17}\times 13\\\frac{5}{17}\times 6-\frac{1}{17}\times 13\end{matrix}\right)$$

Utför beräkningen.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\1\end{matrix}\right)$$

Bryt ut matriselementen x och y.

$$x=3,y=1$$

Steg med eliminering

För lösning med hjälp av eliminering måste koefficienterna för en av variablerna vara desamma i båda ekvationer så att variabeln förkortas när den ena ekvationen subtraheras från den andra.

$$x+3y=6,5x-2y=13$$

Gör x och 5x lika genom att multiplicera alla termer i båda led i den första ekvationen med 5 och alla termer i båda led i den andra ekvationen med 1.

$$5x+5\times 3y=5\times 6,5x-2y=13$$

Förenkla.

$$5x+15y=30,5x-2y=13$$

Subtrahera 5x-2y=13 från 5x+15y=30 genom att subtrahera lika termer på varje sida om likhetstecknet.

$$5x-5x+15y+2y=30-13$$

Addera 5x till -5x. Termerna 5x och -5x tar ut varandra och ger en ekvation med bara en variabel som kan lösas.

$$15y+2y=30-13$$

Addera 15y till 2y.

$$17y=30-13$$

Addera 30 till -13.

$$17y=17$$

Dividera båda led med 17.

$$y=1$$

Ersätt y med 1 i 5x-2y=13. Eftersom den resulterande ekvationen bara innehåller en variabel kan du lösa ut x direkt.

$$5x-2=13$$

Addera 2 till båda ekvationsled.

$$5x=15$$

Dividera båda led med 5.

$$x=3$$

Systemet har lösts.

$$x=3,y=1$$