Lös x+3x+1/2-x-2/3=x^2-2

$$x + \frac { 3 x + 1 } { 2 } - \frac { x - 2 } { 3 } = x ^ { 2 } - 2$$

Lös ut x

$$x=-1$$

$$x = \frac{19}{6} = 3\frac{1}{6} \approx 3,166666667$$

Steg med faktorisering genom gruppering

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 6, den minsta gemensamma multipeln för 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Slå ihop 6x och 9x för att få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Slå ihop 15x och -2x för att få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Addera 3 och 4 för att få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtrahera 6x^{2} från båda led.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Lägg till 12 på båda sidorna.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Addera 7 och 12 för att få 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Skriv om polynomen på standardform. Ordna termerna från högsta till lägsta grad.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som -6x^{2}+ax+bx+19. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=13 ab=-6\times 19=-114$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är positivt har det positiva talet större absolut värde än det negativa. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -114.

$$-1,114 -2,57 -3,38 -6,19$$

Beräkna summan för varje par.

$$-1+114=113 -2+57=55 -3+38=35 -6+19=13$$

Lösningen är det par som ger Summa 13.

$$a=19 b=-6$$

Skriv om -6x^{2}+13x+19 som \left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right).

$$\left(-6x^{2}+19x\right)+\left(-6x+19\right)$$

Utfaktor -x i den första och den -1 i den andra gruppen.

$$-x\left(6x-19\right)-\left(6x-19\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen 6x-19 genom att använda distributivitet.

$$\left(6x-19\right)\left(-x-1\right)$$

Lös 6x-19=0 och -x-1=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$

Steg med lösningsformeln

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 6, den minsta gemensamma multipeln för 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Slå ihop 6x och 9x för att få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Slå ihop 15x och -2x för att få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Addera 3 och 4 för att få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtrahera 6x^{2} från båda led.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Lägg till 12 på båda sidorna.

$$13x+7-6x^{2}+12=0$$

Addera 7 och 12 för att få 19.

$$13x+19-6x^{2}=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$-6x^{2}+13x+19=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med -6, b med 13 och c med 19 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-13±\sqrt{13^{2}-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Kvadrera 13.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169-4\left(-6\right)\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicera -4 med -6.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+24\times 19}}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicera 24 med 19.

$$x=\frac{-13±\sqrt{169+456}}{2\left(-6\right)}$$

Addera 169 till 456.

$$x=\frac{-13±\sqrt{625}}{2\left(-6\right)}$$

Dra kvadratroten ur 625.

$$x=\frac{-13±25}{2\left(-6\right)}$$

Multiplicera 2 med -6.

$$x=\frac{-13±25}{-12}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-13±25}{-12} när ± är plus. Addera -13 till 25.

$$x=\frac{12}{-12}$$

Dela 12 med -12.

$$x=-1$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-13±25}{-12} när ± är minus. Subtrahera 25 från -13.

$$x=-\frac{38}{-12}$$

Minska bråktalet \frac{-38}{-12} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 2.

$$x=\frac{19}{6}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=-1 x=\frac{19}{6}$$

Steg för kvadratkomplettering

Multiplicera båda sidorna av ekvationen med 6, den minsta gemensamma multipeln för 2,3.

$$6x+3\left(3x+1\right)-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera 3 med 3x+1.

$$6x+9x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Slå ihop 6x och 9x för att få 15x.

$$15x+3-2\left(x-2\right)=6x^{2}-12$$

Använd den distributiva egenskapen för att multiplicera -2 med x-2.

$$15x+3-2x+4=6x^{2}-12$$

Slå ihop 15x och -2x för att få 13x.

$$13x+3+4=6x^{2}-12$$

Addera 3 och 4 för att få 7.

$$13x+7=6x^{2}-12$$

Subtrahera 6x^{2} från båda led.

$$13x+7-6x^{2}=-12$$

Subtrahera 7 från båda led.

$$13x-6x^{2}=-12-7$$

Subtrahera 7 från -12 för att få -19.

$$13x-6x^{2}=-19$$

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$-6x^{2}+13x=-19$$

Dividera båda led med -6.

$$\frac{-6x^{2}+13x}{-6}=-\frac{19}{-6}$$

Division med -6 tar ut multiplikationen med -6.

$$x^{2}+\frac{13}{-6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dela 13 med -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=-\frac{19}{-6}$$

Dela -19 med -6.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x=\frac{19}{6}$$

Dividera -\frac{13}{6}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{13}{12}. Addera sedan kvadraten av -\frac{13}{12} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{19}{6}+\left(-\frac{13}{12}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{13}{12} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{19}{6}+\frac{169}{144}$$

Addera \frac{19}{6} till \frac{169}{144} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}=\frac{625}{144}$$

Faktorisera x^{2}-\frac{13}{6}x+\frac{169}{144}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}=\frac{625}{144}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x-\frac{13}{12}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{144}}$$

Förenkla.

$$x-\frac{13}{12}=\frac{25}{12} x-\frac{13}{12}=-\frac{25}{12}$$

Addera \frac{13}{12} till båda ekvationsled.

$$x=\frac{19}{6} x=-1$$