Lös t^2-24t-180=0

$$t ^ { 2 } - 24 t - 180 = 0$$

Lös ut t

$$t=-6$$

$$t=30$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor t^{2}-24t-180 med hjälp av formel t^{2}+\left(a+b\right)t+ab=\left(t+a\right)\left(t+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-24 ab=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -24.

$$a=-30 b=6$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(t+a\right)\left(t+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Lös t-30=0 och t+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=30 t=-6$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som t^{2}+at+bt-180. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-24 ab=1\left(-180\right)=-180$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -180.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

Lösningen är det par som ger Summa -24.

$$a=-30 b=6$$

Skriv om t^{2}-24t-180 som \left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right).

$$\left(t^{2}-30t\right)+\left(6t-180\right)$$

Utfaktor t i den första och den 6 i den andra gruppen.

$$t\left(t-30\right)+6\left(t-30\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen t-30 genom att använda distributivitet.

$$\left(t-30\right)\left(t+6\right)$$

Lös t-30=0 och t+6=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$t=30 t=-6$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -24 och c med -180 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{\left(-24\right)^{2}-4\left(-180\right)}}{2}$$

Kvadrera -24.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576-4\left(-180\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -180.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{576+720}}{2}$$

Addera 576 till 720.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±\sqrt{1296}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 1296.

$$t=\frac{-\left(-24\right)±36}{2}$$

Motsatsen till -24 är 24.

$$t=\frac{24±36}{2}$$

Lös nu ekvationen t=\frac{24±36}{2} när ± är plus. Addera 24 till 36.

$$t=\frac{60}{2}$$

Dela 60 med 2.

$$t=30$$

Lös nu ekvationen t=\frac{24±36}{2} när ± är minus. Subtrahera 36 från 24.

$$t=-\frac{12}{2}$$

Dela -12 med 2.

$$t=-6$$

Ekvationen har lösts.

$$t=30 t=-6$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$t^{2}-24t-180=0$$

Addera 180 till båda ekvationsled.

$$t^{2}-24t-180-\left(-180\right)=-\left(-180\right)$$

Subtraktion av -180 från sig självt ger 0 som resultat.

$$t^{2}-24t=-\left(-180\right)$$

Subtrahera -180 från 0.

$$t^{2}-24t=180$$

Dividera -24, koefficienten för termen x, med 2 för att få -12. Addera sedan kvadraten av -12 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$t^{2}-24t+\left(-12\right)^{2}=180+\left(-12\right)^{2}$$

Kvadrera -12.

$$t^{2}-24t+144=180+144$$

Addera 180 till 144.

$$t^{2}-24t+144=324$$

Faktorisera t^{2}-24t+144. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(t-12\right)^{2}=324$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(t-12\right)^{2}}=\sqrt{324}$$

Förenkla.

$$t-12=18 t-12=-18$$

Addera 12 till båda ekvationsled.

$$t=30 t=-6$$