Lös r^2-22r-7=0

$$r ^ { 2 } - 22 r - 7 = 0$$

Lös ut r

$$r=8\sqrt{2}+11\approx 22,313708499$$

$$r=11-8\sqrt{2}\approx -0,313708499$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -22 och c med -7 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{\left(-22\right)^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

Kvadrera -22.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484-4\left(-7\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -7.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{484+28}}{2}$$

Addera 484 till 28.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±\sqrt{512}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 512.

$$r=\frac{-\left(-22\right)±16\sqrt{2}}{2}$$

Motsatsen till -22 är 22.

$$r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2}$$

Lös nu ekvationen r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} när ± är plus. Addera 22 till 16\sqrt{2}.

$$r=\frac{16\sqrt{2}+22}{2}$$

Dela 22+16\sqrt{2} med 2.

$$r=8\sqrt{2}+11$$

Lös nu ekvationen r=\frac{22±16\sqrt{2}}{2} när ± är minus. Subtrahera 16\sqrt{2} från 22.

$$r=\frac{22-16\sqrt{2}}{2}$$

Dela 22-16\sqrt{2} med 2.

$$r=11-8\sqrt{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$r^{2}-22r-7=0$$

Addera 7 till båda ekvationsled.

$$r^{2}-22r-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

Subtraktion av -7 från sig självt ger 0 som resultat.

$$r^{2}-22r=-\left(-7\right)$$

Subtrahera -7 från 0.

$$r^{2}-22r=7$$

Dividera -22, koefficienten för termen x, med 2 för att få -11. Addera sedan kvadraten av -11 till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$r^{2}-22r+\left(-11\right)^{2}=7+\left(-11\right)^{2}$$

Kvadrera -11.

$$r^{2}-22r+121=7+121$$

Addera 7 till 121.

$$r^{2}-22r+121=128$$

Faktorisera r^{2}-22r+121. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(r-11\right)^{2}=128$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(r-11\right)^{2}}=\sqrt{128}$$

Förenkla.

$$r-11=8\sqrt{2} r-11=-8\sqrt{2}$$

Addera 11 till båda ekvationsled.

$$r=8\sqrt{2}+11 r=11-8\sqrt{2}$$