Lös n^2-n-210=0

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

Lös ut n

$$n=-14$$

$$n=15$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor n^{2}-n-210 med hjälp av formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=-210$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-15 b=14$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(n+a\right)\left(n+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Lös n-15=0 och n+14=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=15 n=-14$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som n^{2}+an+bn-210. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -210.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

Lösningen är det par som ger Summa -1.

$$a=-15 b=14$$

Skriv om n^{2}-n-210 som \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

Utfaktor n i den första och den 14 i den andra gruppen.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-15 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

Lös n-15=0 och n+14=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=15 n=-14$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$n^{2}-n-210=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -1 och c med -210 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -210.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

Addera 1 till 840.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 841.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

Motsatsen till -1 är 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{1±29}{2} när ± är plus. Addera 1 till 29.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dela 30 med 2.

$$n=15$$

Lös nu ekvationen n=\frac{1±29}{2} när ± är minus. Subtrahera 29 från 1.

$$n=-\frac{28}{2}$$

Dela -28 med 2.

$$n=-14$$

Ekvationen har lösts.

$$n=15 n=-14$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-n-210=0$$

Addera 210 till båda ekvationsled.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

Subtraktion av -210 från sig självt ger 0 som resultat.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

Subtrahera -210 från 0.

$$n^{2}-n=210$$

Dividera -1, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

Addera 210 till \frac{1}{4}.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

Faktorisera n^{2}-n+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

Addera \frac{1}{2} till båda ekvationsled.

$$n=15 n=-14$$