Lös n^2-4019n+2009^2leq0

$$n ^ { 2 } - 4019 n + 2009 ^ { 2 } \leq 0$$

Lös ut n

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Steg med lösningsformeln

Beräkna 2009 upphöjt till 2 och få 4036081.

$$n^{2}-4019n+4036081\leq 0$$

Lös olikheten genom att faktorisera den vänstra sidan. Ett kvadratisk polynom kan faktoriseras med transformeringen ax^{2}+bx+c=a\left(x-x_{1}\right)\left(x-x_{2}\right), där x_{1} och x_{2} är lösningarna för andragradsekvationen ax^{2}+bx+c=0.

$$n^{2}-4019n+4036081=0$$

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Ersätt 1 med a, -4019 med b och 4036081 med c i lösningsformeln.

$$n=\frac{-\left(-4019\right)±\sqrt{\left(-4019\right)^{2}-4\times 1\times 4036081}}{2}$$

Gör beräkningarna.

$$n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2}$$

Lös ekvationen n=\frac{4019±3\sqrt{893}}{2} när ± är plus och när ± är minus.

$$n=\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} n=\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}$$

Skriv om olikheten med hjälp av de erhållna lösningarna.

$$\left(n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right)\left(n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\right)\leq 0$$

För att produkten skall kunna ≤0 måste ett av värdena n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2} och n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2} ≥0 och den andra vara ≤0. Tänk på fallet när n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 och n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0.

$$n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\geq 0 n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\leq 0$$

Detta är falskt för alla n.

$$n\in \emptyset$$

Tänk på fallet när n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0 och n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0.

$$n-\frac{4019-3\sqrt{893}}{2}\geq 0 n-\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\leq 0$$

Lösningen som uppfyller båda olikheterna är n\in \left[\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\right].

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$

Den slutliga lösningen är unionen av de erhållna lösningarna.

$$n\in \begin{bmatrix}\frac{4019-3\sqrt{893}}{2},\frac{3\sqrt{893}+4019}{2}\end{bmatrix}$$