Lös n^2-11n-60=0

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

Lös ut n

$$n=-4$$

$$n=15$$

Steg med faktorisering

För att lösa ekvationen, faktor n^{2}-11n-60 med hjälp av formel n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right). Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-11 ab=-60$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -11.

$$a=-15 b=4$$

Skriv om det faktoriserade uttrycket \left(n+a\right)\left(n+b\right) med hjälp av de erhållna värdena.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Lös n-15=0 och n+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=15 n=-4$$

Steg med faktorisering genom gruppering

För att lösa ekvationen kan du faktor den vänstra delen med hjälp av gruppering. Första, vänstra sidan måste skrivas om som n^{2}+an+bn-60. Konfigurera ett system som ska lösas om du vill söka efter a och b.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

Eftersom ab är negativt a och b har motsatta tecken. Eftersom a+b är negativt har det negativa talet större absolut värde än det positiva. Lista alla sådana heltalspar som ger produkten -60.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

Beräkna summan för varje par.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

Lösningen är det par som ger Summa -11.

$$a=-15 b=4$$

Skriv om n^{2}-11n-60 som \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right).

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

Utfaktor n i den första och den 4 i den andra gruppen.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

Bryt ut den gemensamma termen n-15 genom att använda distributivitet.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

Lös n-15=0 och n+4=0 om du vill hitta ekvations lösningar.

$$n=15 n=-4$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med -11 och c med -60 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

Kvadrera -11.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -60.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

Addera 121 till 240.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

Dra kvadratroten ur 361.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

Motsatsen till -11 är 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{11±19}{2} när ± är plus. Addera 11 till 19.

$$n=\frac{30}{2}$$

Dela 30 med 2.

$$n=15$$

Lös nu ekvationen n=\frac{11±19}{2} när ± är minus. Subtrahera 19 från 11.

$$n=-\frac{8}{2}$$

Dela -8 med 2.

$$n=-4$$

Ekvationen har lösts.

$$n=15 n=-4$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}-11n-60=0$$

Addera 60 till båda ekvationsled.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

Subtraktion av -60 från sig självt ger 0 som resultat.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

Subtrahera -60 från 0.

$$n^{2}-11n=60$$

Dividera -11, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{11}{2}. Addera sedan kvadraten av -\frac{11}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{11}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

Addera 60 till \frac{121}{4}.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

Faktorisera n^{2}-11n+\frac{121}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

Förenkla.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

Addera \frac{11}{2} till båda ekvationsled.

$$n=15 n=-4$$