Lös n^2+n-102=0

$$n ^ { 2 } + n - 102 = 0$$

Lös ut n

$$n = \frac{\sqrt{409} - 1}{2} \approx 9,611874208$$

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}\approx -10,611874208$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$n^{2}+n-102=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 1, b med 1 och c med -102 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-102\right)}}{2}$$

Kvadrera 1.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-102\right)}}{2}$$

Multiplicera -4 med -102.

$$n=\frac{-1±\sqrt{1+408}}{2}$$

Addera 1 till 408.

$$n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} när ± är plus. Addera -1 till \sqrt{409}.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2}$$

Lös nu ekvationen n=\frac{-1±\sqrt{409}}{2} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{409} från -1.

$$n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Ekvationen har lösts.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$n^{2}+n-102=0$$

Addera 102 till båda ekvationsled.

$$n^{2}+n-102-\left(-102\right)=-\left(-102\right)$$

Subtraktion av -102 från sig självt ger 0 som resultat.

$$n^{2}+n=-\left(-102\right)$$

Subtrahera -102 från 0.

$$n^{2}+n=102$$

Dividera 1, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{1}{2}. Addera sedan kvadraten av \frac{1}{2} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$n^{2}+n+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=102+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{1}{2} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=102+\frac{1}{4}$$

Addera 102 till \frac{1}{4}.

$$n^{2}+n+\frac{1}{4}=\frac{409}{4}$$

Faktorisera n^{2}+n+\frac{1}{4}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{409}{4}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(n+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{409}{4}}$$

Förenkla.

$$n+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{409}}{2} n+\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{409}}{2}$$

Subtrahera \frac{1}{2} från båda ekvationsled.

$$n=\frac{\sqrt{409}-1}{2} n=\frac{-\sqrt{409}-1}{2}$$