Lös f ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-t)dt

$$f ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - t ) d t$$

Beräkna

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int t^{2}-t\mathrm{d}t$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -t\mathrm{d}t$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-\int t\mathrm{d}t$$

Sedan \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int t^{2}\mathrm{d}t med \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\int t\mathrm{d}t$$

Sedan \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}. Multiplicera -1 med \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-\frac{t^{2}}{2}$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{x^{3}}{3}-\frac{x^{2}}{2}-\left(\frac{0^{3}}{3}-\frac{0^{2}}{2}\right)$$

Förenkla.

$$-\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}$$

Derivera m.a.p. x

$$x\left(x-1\right)$$