Lös ex^2+3x+4=0

$$e x ^ { 2 } + 3 x + 4 = 0$$

Lös ut x (complex solution)

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162+1,080283934i$$

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}\approx -0,551819162-1,080283934i$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med e, b med 3 och c med 4 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$x=\frac{-3±\sqrt{3^{2}-4e\times 4}}{2e}$$

Kvadrera 3.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-4e\times 4}}{2e}$$

Multiplicera -4 med e.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9+\left(-4e\right)\times 4}}{2e}$$

Multiplicera -4e med 4.

$$x=\frac{-3±\sqrt{9-16e}}{2e}$$

Dra kvadratroten ur 9-16e.

$$x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} när ± är plus. Addera -3 till i\sqrt{-\left(9-16e\right)}.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Lös nu ekvationen x=\frac{-3±i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} när ± är minus. Subtrahera i\sqrt{-\left(9-16e\right)} från -3.

$$x=\frac{-i\sqrt{16e-9}-3}{2e}$$

Dela -3-i\sqrt{-9+16e} med 2e.

$$x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Ekvationen har lösts.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$ex^{2}+3x+4=0$$

Subtrahera 4 från båda ekvationsled.

$$ex^{2}+3x+4-4=-4$$

Subtraktion av 4 från sig självt ger 0 som resultat.

$$ex^{2}+3x=-4$$

Dividera båda led med e.

$$\frac{ex^{2}+3x}{e}=-\frac{4}{e}$$

Division med e tar ut multiplikationen med e.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x=-\frac{4}{e}$$

Dividera \frac{3}{e}, koefficienten för termen x, med 2 för att få \frac{3}{2e}. Addera sedan kvadraten av \frac{3}{2e} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}=-\frac{4}{e}+\left(\frac{3}{2e}\right)^{2}$$

Kvadrera \frac{3}{2e}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=-\frac{4}{e}+\frac{9}{4e^{2}}$$

Addera -\frac{4}{e} till \frac{9}{4e^{2}}.

$$x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Faktorisera x^{2}+\frac{3}{e}x+\frac{9}{4e^{2}}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}=\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(x+\frac{3}{2e}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{\frac{9}{4}-4e}{e^{2}}}$$

Förenkla.

$$x+\frac{3}{2e}=\frac{i\sqrt{-\left(9-16e\right)}}{2e} x+\frac{3}{2e}=-\frac{i\sqrt{16e-9}}{2e}$$

Subtrahera \frac{3}{2e} från båda ekvationsled.

$$x=\frac{-3+i\sqrt{16e-9}}{2e} x=-\frac{3+i\sqrt{16e-9}}{2e}$$