Lös I ( x ) = ∫ (from 0 to x) of (t^2-24t+143)dt

$$I ( x ) = \int _ { 0 } ^ { x } ( t ^ { 2 } - 24 t + 143 ) d t$$

Beräkna

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Lösningssteg

Beräkna den obestämda integralen först.

$$\int t^{2}-24t+143\mathrm{d}t$$

Integrera summan för termer per term.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t+\int -24t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Bryta ut konstanten i varje term.

$$\int t^{2}\mathrm{d}t-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Sedan \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int t^{2}\mathrm{d}t med \frac{t^{3}}{3}.

$$\frac{t^{3}}{3}-24\int t\mathrm{d}t+\int 143\mathrm{d}t$$

Sedan \int t^{k}\mathrm{d}t=\frac{t^{k+1}}{k+1} för k\neq -1 ersätter du \int t\mathrm{d}t med \frac{t^{2}}{2}. Multiplicera -24 med \frac{t^{2}}{2}.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+\int 143\mathrm{d}t$$

Leta reda på integralen av 143 med hjälp av tabellen med vanliga integralregel \int a\mathrm{d}t=at.

$$\frac{t^{3}}{3}-12t^{2}+143t$$

Den bestämda integralen är det som utvärderades vid den övre integrationsgränsen minus det derivatet som utvärderats vid den undre integrationsgränsen.

$$\frac{x^{3}}{3}-12x^{2}+143x-\left(\frac{0^{3}}{3}-12\times 0^{2}+143\times 0\right)$$

Förenkla.

$$\frac{x\left(x^{2}-36x+429\right)}{3}$$

Derivera m.a.p. x

$$\left(x-13\right)\left(x-11\right)$$