Lös 9z^2-7z+1=0

$$9 z ^ { 2 } - 7 z + 1 = 0$$

Lös ut z

$$z=\frac{\sqrt{13}+7}{18}\approx 0,589197293$$

$$z=\frac{7-\sqrt{13}}{18}\approx 0,188580485$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9z^{2}-7z+1=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -7 och c med 1 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 9}}{2\times 9}$$

Kvadrera -7.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 9}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-36}}{2\times 9}$$

Addera 49 till -36.

$$z=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -7 är 7.

$$z=\frac{7±\sqrt{13}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$z=\frac{7±\sqrt{13}}{18}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{7±\sqrt{13}}{18} när ± är plus. Addera 7 till \sqrt{13}.

$$z=\frac{\sqrt{13}+7}{18}$$

Lös nu ekvationen z=\frac{7±\sqrt{13}}{18} när ± är minus. Subtrahera \sqrt{13} från 7.

$$z=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$

Ekvationen har lösts.

$$z=\frac{\sqrt{13}+7}{18} z=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9z^{2}-7z+1=0$$

Subtrahera 1 från båda ekvationsled.

$$9z^{2}-7z+1-1=-1$$

Subtraktion av 1 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9z^{2}-7z=-1$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9z^{2}-7z}{9}=-\frac{1}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$z^{2}-\frac{7}{9}z=-\frac{1}{9}$$

Dividera -\frac{7}{9}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{7}{18}. Addera sedan kvadraten av -\frac{7}{18} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$z^{2}-\frac{7}{9}z+\left(-\frac{7}{18}\right)^{2}=-\frac{1}{9}+\left(-\frac{7}{18}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{7}{18} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$z^{2}-\frac{7}{9}z+\frac{49}{324}=-\frac{1}{9}+\frac{49}{324}$$

Addera -\frac{1}{9} till \frac{49}{324} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$z^{2}-\frac{7}{9}z+\frac{49}{324}=\frac{13}{324}$$

Faktorisera z^{2}-\frac{7}{9}z+\frac{49}{324}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(z-\frac{7}{18}\right)^{2}=\frac{13}{324}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(z-\frac{7}{18}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{13}{324}}$$

Förenkla.

$$z-\frac{7}{18}=\frac{\sqrt{13}}{18} z-\frac{7}{18}=-\frac{\sqrt{13}}{18}$$

Addera \frac{7}{18} till båda ekvationsled.

$$z=\frac{\sqrt{13}+7}{18} z=\frac{7-\sqrt{13}}{18}$$