Lös 9y^2-12y+2=0

$$9 y ^ { 2 } - 12 y + 2 = 0$$

Lös ut y

$$y = \frac{\sqrt{2} + 2}{3} \approx 1,138071187$$

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}\approx 0,195262146$$

Steg med lösningsformeln

Alla ekvationer på formen ax^{2}+bx+c=0 kan lösas med hjälp av lösningsformeln: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. Lösningsformeln ger två lösningar, en när ± är addition och en när det är subtraktion.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Den här ekvationen är skriven i standardform: ax^{2}+bx+c=0. Ersätt a med 9, b med -12 och c med 2 i andragradsekvationen \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{\left(-12\right)^{2}-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Kvadrera -12.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-4\times 9\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplicera -4 med 9.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-36\times 2}}{2\times 9}$$

Multiplicera -36 med 2.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{144-72}}{2\times 9}$$

Addera 144 till -72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±\sqrt{72}}{2\times 9}$$

Dra kvadratroten ur 72.

$$y=\frac{-\left(-12\right)±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Motsatsen till -12 är 12.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{2\times 9}$$

Multiplicera 2 med 9.

$$y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} när ± är plus. Addera 12 till 6\sqrt{2}.

$$y=\frac{6\sqrt{2}+12}{18}$$

Dela 12+6\sqrt{2} med 18.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3}$$

Lös nu ekvationen y=\frac{12±6\sqrt{2}}{18} när ± är minus. Subtrahera 6\sqrt{2} från 12.

$$y=\frac{12-6\sqrt{2}}{18}$$

Dela 12-6\sqrt{2} med 18.

$$y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Ekvationen har lösts.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$

Steg för kvadratkomplettering

Andragradsekvationer som den här kan lösas med hjälp av kvadratkomplettering. För kvadratkomplettering måste ekvationen först skrivas om på formen x^{2}+bx=c.

$$9y^{2}-12y+2=0$$

Subtrahera 2 från båda ekvationsled.

$$9y^{2}-12y+2-2=-2$$

Subtraktion av 2 från sig självt ger 0 som resultat.

$$9y^{2}-12y=-2$$

Dividera båda led med 9.

$$\frac{9y^{2}-12y}{9}=-\frac{2}{9}$$

Division med 9 tar ut multiplikationen med 9.

$$y^{2}+\left(-\frac{12}{9}\right)y=-\frac{2}{9}$$

Minska bråktalet \frac{-12}{9} till de lägsta termerna genom att extrahera och eliminera 3.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y=-\frac{2}{9}$$

Dividera -\frac{4}{3}, koefficienten för termen x, med 2 för att få -\frac{2}{3}. Addera sedan kvadraten av -\frac{2}{3} till båda ekvationsleden. Det här steget gör ekvationens vänstra sida till en jämn kvadrat.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}=-\frac{2}{9}+\left(-\frac{2}{3}\right)^{2}$$

Kvadrera -\frac{2}{3} genom att kvadrera både täljaren och nämnaren i bråktalet.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{-2+4}{9}$$

Addera -\frac{2}{9} till \frac{4}{9} genom att hitta en gemensam nämnare och sedan addera täljarna. Förkorta sedan bråktalet till lägsta term om det går.

$$y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}=\frac{2}{9}$$

Faktorisera y^{2}-\frac{4}{3}y+\frac{4}{9}. I allmänhet kan den alltid faktoriseras som \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} när x^{2}+bx+c är en perfekt kvadrat.

$$\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}=\frac{2}{9}$$

Dra kvadratroten ur båda ekvationsled.

$$\sqrt{\left(y-\frac{2}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{2}{9}}$$

Förenkla.

$$y-\frac{2}{3}=\frac{\sqrt{2}}{3} y-\frac{2}{3}=-\frac{\sqrt{2}}{3}$$

Addera \frac{2}{3} till båda ekvationsled.

$$y=\frac{\sqrt{2}+2}{3} y=\frac{2-\sqrt{2}}{3}$$